Il web e il “piccolo mondo”

Fabrizio Luccio e Linda Pagli



Attenzione: le tre figure che corredano questo testo si trovano qui. Quella che potete vedere sotto è la fig. 16.

A volte le conseguenze di un messaggio arrivato troppo tardi possono essere drammatiche. Shakespeare ci racconta la tragedia che si compie quando Romeo vede Giulietta nella bara, ignaro che la sua morte è solo apparente. Il messaggio che spiega le proprietà del filtro con cui Giulietta simula la morte non è giunto a Romeo perché il latore, Frate Giovanni, è trattenuto dalle guardie che lo sospettano di contagio di peste: e questo segnerà il destino tragico dei due innamorati.

Le pestilenze erano inconvenienti di tempi antichi e il problema di Romeo e Giulietta fu il mancato recapito di un messaggio. Con mezzi moderni come la posta elettronica si può incorrere nel problema opposto, perché un messaggio può essere recapitato inconsapevolmente a molte persone oltre che a quella desiderata. La cronaca recente registra il caso di una giovane donna inglese, che avendo trascorso piacevolmente la notte con un amico, gli abbia poi mandato un messaggio affettuoso per posta elettronica secondo la modalità forse più moderna in questo tipo di interazioni. Il messaggio pare contenesse riferimenti piuttosto espliciti e divertenti ai fatti accaduti nella notte. Non ci è pervenuto il testo, ma il contenuto doveva certo essere in qualche modo notevole e lusinghiero nei confronti del giovanotto il quale non ha saputo resistere e l’ha inviato immediatamente a un gruppetto di amici fidati. Con la posta elettronica è facilissimo scrivere contemporaneamente a più persone e il messaggio originale è stato immediatamente rispedito agli amici degli amici e così via tanto che, in accordo al fenomeno della crescita esponenziale già illustrato in un precedente capitolo, ha raggiunto sette milioni di destinatari nel giro di un paio di giorni! Questa storia moderna, pur meno tragica di quella shakespeariana, ha avuto anch’essa un brutto epilogo: la ragazza, oltre all’immaginabile imbarazzo si è dovuta a lungo nascondere dall’assedio dei giornalisti e il giovanotto, che lavorava proprio in un ufficio legale, è stato perseguito per uso illecito della posta elettronica!

Tornando al mondo antico, con lo stesso stupore con cui ci colpisce la modernità e la universalità di un pensiero in bocca ad un antico scrittore, così ci stupisce osservare come le connessioni fossero fitte e come le informazioni penetrassero, almeno in aree circoscritte, a livello capillare. Probabilmente si trattava di comunità all’interno delle quali le interazioni tra membri della stessa comunità erano intense, isole dove tutti erano in qualche modo molto collegati tra loro e dove le notizie circolavano velocemente, ma poco collegate all’esterno. Dovendo passare da un’isola all’altra il problema della comunicazione si faceva più serio: la connessione era poco garantita, a volte pericolosa, una notizia poteva essere mal interpretata e i tempi diventavano imprevedibili.

Questi fenomeni sono stati studiati approfonditamente sia nell’ambito delle scienze sociali che, in tempi più recenti, in quello delle reti di calcolatori, perché in ambedue i campi gli studiosi si sono interrogati su come avvengano le interazioni, tra umani in un caso e tra computer nell’altro, sulla base di percorsi di connessione esistenti. Nelle reti di computer può transitare una quantità enorme di messaggi in un breve arco di tempo; attraverso lo scambio di questi messaggi inviati a comando da umani o in modo automatico da altri computer, è stato possibile chiarire meglio anche le regole delle interazioni umane, le cui forme, talvolta inaspettate, hanno suggerito a loro volta nuove strategie da adottare nelle reti di computer.

Una domanda iniziale è: con quale tipo di interazione due individui entrano in contatto per scambiarsi un messaggio? Per affrontare il problema, nel tentativo di semplificarlo, gli studiosi hanno esaminato due tipi limite di aggregazione: quella di comunità ove tutti si frequentano e si conoscono personalmente, ma separate una dall’altra, e quella composta da un’unica comunità di individui che vivono lontani tra loro e che non interagiscono di persona, ma che possono comunicare facilmente a distanza secondo un insieme di connessioni incompleto e apparentemente casuale. Per studiare situazioni di questo tipo si fa uso di grafi come indicato nella figura 15: cioè di insiemi di punti che rappresentano i membri della comunità, marcati in nero, e di segmenti che rappresentano le connessioni. Nel primo tipo di comunità il grafo si riduce a un clique, termine francese che indica una società chiusa, in cui esistono tutte le possibili connessioni tra i punti: nella figura è rappresentato un clique Q di cinque punti con le dieci connessioni possibili. Se una piccola parte di queste connessioni dovesse mancare il grafo non sarebbe molto diverso e prenderebbe forma di cluster C. L’altra comunità considerata ha invece un insieme largamente incompleto di connessioni che non segue alcuna regola precisa. Il grafo risultante è random, cioè casuale, ove il legame tra casualità e assenza di regole è stato ampiamente illustrato in un capitolo precedente. Nella figura è rappresentato un grafo random R con dieci punti e dodici connessioni disposte senza alcun ordine apparente (come sappiamo non vi è mai certezza che tale ordine non esista).

Figura 15. Tre grafi che indicano: una comunità completamente collegata al suo interno (clique Q); una comunità assai simile ma parzialmente incompleta (cluster C); una comunità in cui le connessioni sono casuali (random R).

Nelle due aggregazioni limite, un’organizzazione divisa in clique ricorda quella degli uomini delle caverne, mentre un grafo random che comprende tutti i membri della comunità rappresenta un universo poco dissimile da quello cui sembra tendere la società contemporanea. Nella prima le comunicazioni sono dirette; nella seconda, che chiameremo società del futuro, si fa sempre più uso del telefono e della rete comunicando a qualunque distanza. La probabilità che due cavernicoli entrino in contatto è pari a uno, cioè alla certezza, se essi appartengono alla stessa clique (caverna), ma può essere alta anche in caso contrario. La spiegazione è semplice. Per membri di due diverse caverne un amico comune, esploratore coraggioso, sarà il ponte di unione tra essi: avere un simile amico assicura indirettamente la connessione con tutti gli individui dell’altra caverna. Naturalmente caverne molto distanti potrebbero non essere mai state collegate, o tale connessione potrebbe essersi persa nel tempo, dando luogo a un grafo complessivo composto di clique parzialmente collegate tra loro, come è illustrato nella figura 16. Nella società del futuro, invece, avere un amico comune non aiuta per niente: i contatti non avvengono tramite amicizia ma su base casuale e quindi la probabilità di entrare in contatto non supera la probabilità di avere un contatto a caso. In questa ipotetica e inquietante organizzazione, descritta nel suo complesso dal grafo random già visto, non si potrà ricorrere al sistema tradizionale dell’amico per avere più probabilità di conoscere qualche nuova persona interessante.

Figura 16. L’organizzazione delle caverne, composta da clique connessi tra loro da catene lunghe e frammentate, e la sua evoluzione in "piccolo mondo" ove le connessioni interne alle comunità sono incomplete (cluster) ma le connessioni tra comunità sono realizzate in media con pochi passi.

Tra i due estremi delle caverne e della società futura troviamo organizzazioni sociali, contraddistinte dal termine small world, piccolo mondo, ove "piccolo" indica non il numero di individui, che può essere elevatissimo, ma la distanza che in media esiste tra un individuo e l’altro misurata in termini di catena di conoscenze. Il piccolo mondo prende il nome dalla consuetudine secondo cui due persone che si riconoscono per caso in un posto improbabile, oppure che scoprono di avere un amico o addirittura un parente comune, sono portate a commentare: "com’è piccolo il mondo!": evento in realtà non molto probabile e sempre sottolineato dagli umani per il suo carattere straordinario. Il piccolo mondo è rappresentabile come un insieme di cluster, cioè di comunità collegate intensamente al loro interno, scarsamente connesse tra loro, ma per cui i collegamenti esterni sono sufficienti a garantire che tutti gli individui del sistema possano connettersi uno con l’altro in pochi passi di lunghezza arbitraria. Nella figura 16 si vede come, in un piccolo mondo, ci si possa spostare da un cluster all’altro raggiungendo in breve ogni possibile destinazione, a differenza del mondo delle caverne dove la connessione interna è totale ma quella tra individui appartenenti a gruppi diversi non sempre è assicurata e alcune caverne possono rimanere completamente isolate.

Così il mondo delle caverne si è trasformato nel tempo in piccolo mondo: un individuo per la maggior parte del tempo è connesso con i suoi compagni di cluster e il resto del mondo rimane al di là delle sue conoscenze; è sufficiente che uno solo dei suoi compagni si metta in contatto con un individuo di un altro cluster perché si formi l’anello di connessione che raggruppa i due cluster in un’unica componente. E così, attraverso vari anelli di connessione, tutti i cluster si collegano tra loro fino a formare un unico reticolato che connette ogni coppia di individui in un numero di passi mediamente piccolo. Il mondo di una volta era formato di comunità separate e la diffusione delle notizie era affidata a coraggiosi o sconsiderati che per necessità, curiosità o altro, prendevano l’iniziativa di passare in una comunità straniera. Così facendo diffondevano le notizie e tendevano a rendere piccolo il mondo: i moderni mezzi di comunicazione hanno fatto il resto.

Se le reti di umani si sono sviluppate in questo modo, lo stesso tipo di organizzazione si può osservare in altri tipi di reti che si formano in modo spontaneo ed esibiscono tutte una struttura simile, nettamente diversa da quella in cui tutte le interazioni avvengono per caso. Qualche anno fa nella comunità scientifica dei matematici e di altri studiosi ad essa collegati si è diffuso il vezzo di calcolare il proprio "numero di Erdös". Paul Erdös, insigne matematico ungherese da poco scomparso, era popolarissimo sia per l’enorme produzione scientifica che per le abitudini di vita anticonformiste: non possedeva nulla, né lavoro fisso, né casa, né altri beni materiali, e viveva dell’ospitalità di colleghi e amici dedicandosi esclusivamente alla matematica e regalando in beneficenza quello che guadagnava con le sue brillanti lezioni e conferenze, o riservandolo come premio per qualche nuovo risultato scientifico. La sua opera è particolarmente attuale perché tra molti risultati importanti ha definito alcuni strumenti teorici impiegati nello studio delle reti. Erdös ha collaborato con un grandissimo numero di colleghi con cui ha generosamente condiviso le sue vulcaniche intuizioni matematiche. Aver potuto lavorare direttamente con lui deve essere stata un’esperienza emozionante e di valore, tanto da meritare che si indichino non solo i suoi coautori, ma anche i coautori dei suoi coautori e così via: e per quantificare questo concetto è stato inventato il numero di Erdös. La regola per calcolarlo è la seguente: Erdös ha numero 0; ogni collaboratore che abbia firmato un articolo assieme a lui possiede numero di Erdös 1. Chi ha firmato un articolo insieme a un collega con numero di Erdös 1 ottiene numero di Erdös 2 e così via. Per esempio Einstein ha numero 2 e molti ricercatori si sentono orgogliosi di avere un basso numero di Erdös. Poiché la comunità scientifica opera su scala mondiale ed è aperta a vaste collaborazioni che generano articoli a molti nomi, quasi tutti i ricercatori posseggono un numero (sono connessi tra loro) e questo numero risulta in media abbastanza basso (quattro o cinque). Naturalmente persone culturalmente vicine, o che partecipano a progetti comuni di ricerca, pubblicheranno facilmente articoli congiunti e, attraverso questi, otterranno lo stesso numero di Erdös e tenderanno a formare dei cluster: ciò significa che la rete di collaborazioni scientifiche presenta le caratteristiche di un piccolo mondo e il numero di Erdös non è che una delle possibili metriche per metterne in evidenza le distanze da un punto d’origine. Negli anni ’50 dello scorso secolo un sociologo di nome Milgran ideò un esperimento interessante per approfondire queste tematiche. Un centinaio di lettere dovevano essere inviate da Boston a una cittadina del Nebraska, punti piuttosto distanti degli Stati Uniti, senza usare la normale procedura postale, ma con le regole seguenti. Chi riceve una lettera per un destinatario a lui sconosciuto può soltanto spedirla a un suo diretto conoscente che proseguirà con la stessa regola. A ogni passo la cerchia dei destinatari è limitata alle conoscenze dirette del mittente, che sceglierà la persona che presumibilmente più si avvicina al destinatario finale. Se questi per esempio è un medico o un idraulico, cercherà un conoscente che rientra nella categoria, oppure cercherà di far avanzare il messaggio geograficamente mandandolo al conoscente che abita più vicino alla destinazione finale, o tutte e due le cose assieme. Le due località di spedizione-ricezione furono selezionate da Milgran con l’intento preciso di prendere due località estremamente diverse tra loro, non solo come posizione geografica, ma anche come composizione sociale. I risultati di Milgran furono sorprendenti: la maggioranza delle lettere arrivò a destinazione, e ci arrivò con un numero medio di passaggi decisamente basso. Milgran dimostrò che in media sei passaggi di consegna erano sufficienti per recapitare la lettera, e facendo numerosi altri esperimenti del genere arrivò alla conclusione che, secondo la relazione di amicizia, o più precisamente di conoscenza diretta, ogni persona negli Stati Uniti è "separata" da qualsiasi altro soltanto da una catena di relazioni lunga sei e che la società americana formava un piccolo mondo di persone collegate da amicizia o conoscenza. L’esperimento diventò molto famoso tanto da ispirare anche un pezzo teatrale di John Guare, trasformato poi nel 1993 in un film dal titolo "Six degrees of separation" dal regista Fred Schepisi. La caratteristica di piccolo mondo si estende in realtà all’intero genere umano legandoci tutti in una grande rete di conoscenze: è divertente constatare che solo sei passaggi ci separano da Giulia Roberts o da Brad Pitt o che solo sei passaggi separano Madre Teresa di Calcutta da Osama Bin Laden.

Potremmo continuare a lungo su questo tema, ed è stato già fatto da molti, perché il fatto che la comunità di umani sia così intimamente correlata dalle conoscenze comuni colpisce l’immaginario; ma se analizziamo questo fatto più approfonditamente scopriremo che non è poi così sorprendente. Non è azzardato immaginare che un individuo qualsiasi, Tizio, anche se è molto timido e introverso abbia almeno una diecina di conoscenti diretti con cui quindi è direttamente collegato, inclusi i parenti stretti e i colleghi di lavoro e magari lo psicologo; poiché ognuno di quest’ultimi sarà collegato a sua volta almeno con altri dieci, in al più due passi Tizio può essere collegato con 110 persone, 10 iniziali più i 100 amici diretti dei suoi amici, posto che questi siano tutti distinti tra loro. Anche qui siamo di fronte a un fenomeno di crescita esponenziale, mitigato dal fatto che le persone raggiunte per vie diverse saranno in molti casi sempre le stesse: per esempio in sei passi Tizio potrebbe raggiungerebbe fino a un milione di persone (precisamente 1.111.110 se fossero tutte distinte), in otto passi oltre dieci miliardi, cioè un numero superiore a tutta la popolazione del mondo. Nella figura 14 si vede come lo spettro delle conoscenze di Tizio si apra a ventaglio col classico sviluppo esponenziale.

In realtà le reti sociali sono più complesse e, come già detto, tendono a organizzarsi come piccoli mondi. Gli individui raggiunti da Tizio hanno anch’essi relazioni tra loro, che si aggiungono ai ventagli formando cluster che si sovrappongono alla struttura della figura. Queste relazioni aggiuntive legano individui posti ovunque rappresentando delle "scorciatoie" nella catena di conoscenze e contribuiscono a diminuire il numero medio di passi per andare da un individuo all’altro. Più ce ne sono e più breve sarà la lunghezza della catena media. Un altro contributo in questa direzione è dovuto alla presenza nella rete di "accentratori", persone molto popolari che, contrariamente a Tizio, hanno un numero molto grande di conoscenze dirette. Un esempio di questo tipo è Erdös in riferimento alla comunità dei matematici, che ha pubblicato articoli congiunti con cinquecentosette colleghi. Se un personaggio di questo tipo si inserisce tra gli individui connessi a Tizio nella figura 4, l’effetto immediato è di abbreviare moltissime distanze esistenti sul ventaglio e di conseguenza la distanza media. Se scegliamo un accentratore come origine al posto di Tizio, esso raggiungerà in pochi passi tutti gli individui della comunità. È interessante notare che gli elementi accentratori s’incontrano in tutti i tipi di reti sociali e non, a patto che si siano formate spontaneamente come un piccolo mondo.

Figura 17. Il ventaglio delle conoscenze di Tizio e il cluster di connession di un Accentratore. Le amicizie dirette tra i conoscenti di Tizio sono tratteggiate.

(Tratto da Storia matematica della rete. Dagli antichi codici all’era di Internet, di Fabrizio Luccio e Linda Pagli, Bollati Boringhieri, 2007).








pubblicato da c.benedetti nella rubrica in teoria il 12 giugno 2007