Il giudice ha un teorema

Fabrizio Luccio



"Il giudice ha un teorema" afferma l’uomo di potere accusato d’imbrogli, con irridente arroganza e – ci auguriamo – una certa dissimulata tremarella. Chiunque conosca un po’ di matematica, ma che dico, d’italiano, dovrebbe dedurne con sollievo "allora sei fottuto"; invece il gaglioffo dà alla parola teorema un significato improprio che i suoi pari hanno imposto attraverso la tv.

Anche se nella cultura classica il teorema era un modello etico da imitare, penso che nella percezione comune prevalga il significato matematico di affermazione di cui si conosce una dimostrazione: non è necessario che questa sia ripetuta ogni volta che si cita il teorema, ma è indispensabile sapere che esiste e dove andarla a prendere se ci viene richiesta. In campo scientifico la parola ha assunto una certa sacralità e si impiega solo per i risultati che scandiscono i momenti importanti di una teoria (il Teorema di Gauss nei campi elettromagnetici) destinando termini meno impegnativi come lemma, proposizione eccetera a risultati intermedi che pure hanno bisogno di una dimostrazione. Un’affermazione di cui non si conosca dimostrazione, ma che risulti plausibile o sia frutto di geniale intuizione, si chiama congettur a; termine obbligatorio anche se l’affermazione è verificata in tutti i casi sperimentati (la Congettura di Goldbach sui numeri primi). Diverrà teorema quando qualcuno l’avrà dimostrata.

L’uso giornalistico della parola teorema si basa, o si dovrebbe basare, su un’estensione del termine scientifico, per indicare un’argomentazione fondata su testimonianze o prove oggettive. Se dunque il giudice ha un teorema di colpevolezza ne ha anche la dimostrazione e l’imputato è fritto; se invece ha solo una congettura, per plausibile che sia, ha ancora una lunga strada davanti a sé per emettere un giudizio. Che dunque l’uomo di potere abbia detto "teorema" intendendo "congettura"? Neanche per sogno: una congettura deve apparire ragionevole o essere frutto di una raffinata intelligenza mentre al giudice si attribuisce un’ipotesi insensata o gratuitamente offensiva, per non dire strumentale a loschi fini. Nella migliore delle ipotesi, cioè pur volendo ammettere che non sia un disonesto, il giudice con teorema è risucchiato nel suo inganno da un delirio d’onnipotenza che gli impedisce di percepire un’evidente realtà.

Si può naturalmente obiettare che il linguaggio si evolve e include le estensioni di significato consolidate dall’uso. Ma dovrebbero esserci dei limiti imposti dalla chiarezza e dal buon gusto, e si dovrebbero evitare in ogni caso le espressioni usate dai gaglioffi. Tanto più nel caso presente ove il trasferimento dal linguaggio scientifico a quello comune è pieno di interessanti possibilità e di sottili implicazioni. Vediamo perché.

Nel 1637 Pierre de Fermat annotò, sul margine di un libro di aritmetica antica, una semplicissima proprietà dei numeri interi aggiungendo di aver trovato "una meravigliosa dimostrazione di questo teorema", ma che questa non poteva essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina. Il grande prestigio dell’autore indusse i matematici a indicare la proprietà come Ultimo Teorema di Fermat, benché solo nel 1994 ne fu completata una complicatissima dimostrazione: così complicata che la comunità dei matematici l’ha accettata solo dopo un esame di anni. Dunque l’affermazione di Fermat è oggi a buon diritto un teorema. Ma se la dimostrazione fosse sbagliata?

In fondo anche la dimostrazione del teorema di Pitagora potrebbe essere sbagliata, cioè contenere un sottilissimo baco sfuggito a tutti per millenni: naturalmente ciò è molto improbabile ma ci invita a una riflessione nuova. Qualunque affermazione è soggetta a errore con una certa ancorché piccolissima probabilità: si tratta di prenderla per buona se l’eventuale errore è meno dannoso di ogni altro motivo che renda l’affermazione poco interessante o addirittura inutile. Per quanto possa apparire discutibile e vaga, questa argomentazione può essere formulata in modo rigoroso e ha fatto il suo ingresso nella logica matematica seguendo una via troppo tecnica per essere discussa qui. Vediamo però come ciò si leghi al concetto di teorema, nella cui dimostrazione si dovrà ora tener conto di una (piccolissima) probabilità di errore.

Come d’uso nel calcolo delle probabilità osserviamo i lanci di monete ammettendo che siano guidati dal caso. Una moneta regolare dovrebbe avere due facce differenti (testa e croce), ma potrebbe essere truccata e avere facce uguali (due teste): cosa che ci proponiamo di giudicare osservando i risultati del lancio. Ovviamente l’apparizione di una croce ci consente di decidere che la moneta non è truccata; ma se appaiono solo teste cosa possiamo concludere?

Se la moneta è regolare, la probabilità che il primo lancio generi testa è 1/2, la probabilità che due lanci consecutivi generino due teste è 1/4, e tale probabilità dimezza a ogni successiva apparizione di una testa finché per venti teste consecutive la probabilità è meno di uno su un milione, per trenta teste è meno di uno su un miliardo, per cento teste consecutive è incredibilmente piccola e certamente inferiore a quella che l’osservatore perda istantaneamente il senno inferendo assurdità da ciò che vede, o che una nuova concezione di calcolo delle probabilità infici ogni odierno ragionamento, o che uno tsunami ci spazzi via tutti rendendo questo blog completamente inutile. Queste probabilità decrescono con la stessa regola con cui si gioca "al raddoppio" su una roulette, metodo che garantirebbe una vincita se si disponesse di capitale illimitato per far fronte a qualsiasi catena sfortunata di eventi. Dunque possiamo formulare il "teorema":

Condizione necessaria e sufficiente perché una moneta sia truccata è che cento lanci consecutivi abbiano generato sempre testa.

Notiamo che la condizione è necessaria in senso classico (infatti una moneta truccata dà sempre testa) ed è sufficiente in senso probabilistico (infatti una moneta regolare dà testa per cento volte di seguito con probabilità trascurabile). Inoltre ognuno può ritagliarsi il teorema con il grado di sicurezza che desidera ponendo, al posto di cento, un numero k di lanci a sua scelta: la probabilità di errore sarà così di uno su 2 elevato a k (ed è infatti così che questi teoremi sono matematicamente formulati). È bene ricordare che il ragionamento è basato sull’ipotesi che i lanci siano casuali e quindi indipendenti tra loro, altrimenti non sarebbe vero che la probabilità dimezza o ogni lancio.

Cosa dire dunque del giudice? Onestamente dovrebbe procedere secondo le regole della logica matematica. Se basa il giudizio sulle dichiarazioni di testimoni, o su riscontri tra accadimenti ecc., dovrebbe anzitutto considerare solo fatti indipendenti tra loro (le testimonianze di due pentiti dello stesso clan, o due orme uguali sul luogo del delitto, contano solo come una); quindi, secondo dottrina e esperienza, assegnare una probabilità di errore a ciascun elemento di prova; infine moltiplicare queste probabilità tra loro, in numero sufficiente perché la probabilità complessiva di condannare un innocente sia inferiore a quella che si inceppi la ghigliottina e il verdetto non produca comunque alcun effetto.

In conclusione il giudice può avere un teorema purché sia probabilistico.

P.S. Dopo averle proposto il pezzetto qui sopra, Carla Benedetti mi ha fatto notare che i teoremi del giudice svolazzano da tempo nel linguaggio giornalistico per denunciare possibili abusi della magistratura. Mi ha ricordato, per esempio, gli arresti di alcuni membri di Autonomia Operaia il 7 Aprile del 1979 in base al cosiddetto "Teorema Calogero" che li accusava di banda armata. Dunque, osserva Carla, l’espressione deve essere presa come "il giudice ha un teorema DA DIMOSTRARE".

Accetto senz’altro quest’argomentazione. L’espressione comune è apertamente polemica e indica che il giudice si è fatto un’idea sul caso, fa arrestare i sospettati e parte poi alla ricerca delle prove anziché seguire il percorso contrario: una bella scorrettezza non c’è che dire. Salvate dunque ciò che volete da quello che ho scritto sopra e buttate via il resto. Ma lasciatemi fare un’ultima considerazione.

I matematici partono da un insieme di postulati e dimostrano teoremi mediante l’applicazione di regole di deduzione. Euclide ci ha abituato a considerare i postulati come verità primigenie indiscutibili (il punto non ha dimensione e così via); ma ovviamente essi possono essere posti in modo arbitrario dando luogo teoremi validi in quella teoria, ma senza correlazione con la realtà. Per il matematico ciò è perfettamente lecito; ma se anche il giudice partisse da postulati irreali per dimostrarne correttamente le conseguenze?

Hanno ragione anche i gaglioffi: un giudice con teorema si deve combattere con altre armi.








pubblicato da ilprimoamore nella rubrica giornalismo e verità il 27 febbraio 2007