I numeri di Fibonacci e le auto di Pechino

Fabrizio Luccio



Due espressioni tratte direttamente dal linguaggio matematico sono divenute da tempo di gran moda, estendendone il significato per illustrare situazioni nuove. Sono: "massimo comun denominatore" e "crescita esponenziale". Si incontrano di continuo scritte o dette da commentatori sportivi, uomini politici, operatori di call center, artisti di strada, alti prelati ecc. (non voglio fare del qualunquismo e sono pronto a fornire gli esempi). Benché l’uso troppo frequente le renda entrambe stucchevoli, vi è una netta differenza sulla correttezza d’impiego delle due espressioni: bene la prima, male la seconda e questo è un peccato, come cercherò di spiegare.

"Massimo comun denominatore" indica, spesso in politica, tutto ciò che vi è di comune tra diverse ideologie o linee di condotta. Si tratta di un’estensione significativa e corretta di un concetto che risale agli Elementi di Euclide. Meglio dovrebbe dirsi "massimo comun divisore", ma ciò probabilmente richiamerebbe un’idea differente: tra "comun" e "divisore" potrebbe prevalere il secondo termine a rimarcare differenze anziché affinità. Ma sono stufo dell’imbarbarimento d’uso della "crescita esponenziale", perché in matematica essa indica un fenomeno molto sottile che potrebbe essere reinterpretato vantaggiosamente nel linguaggio comune. Infatti mentre l’espressione è usata dai più per indicare genericamente un fenomeno che cresce a dismisura, la matematica la distingue come la legge di crescita più rapida, ma in una prospettiva che può essere anche molto lontana.

Cresce in modo esponenziale un fondo giacente in banca su cui sono calcolati gli interessi ogni fine anno, tanto che, se si potesse attendere qualche decina d’anni senza che la moneta si svaluti nel frattempo, un deposito bancario costituirebbe di gran lunga il più remunerativo degli investimenti per quanto piccolo sia il tasso d’interesse: ma nei primi anni la crescita è quasi impercettibile. Con un interesse del 5%, un fondo di valore 1 diverrebbe 1,05 dopo un anno, 1,10 dopo due anni, 1,63 dopo dieci anni; ma poi 11,47 dopo cinquant’anni, 131 dopo cent’anni, oltre 2 milioni dopo 300 anni, oltre 5000 Miliardi dopo 600 anni.

Crescono in modo esponenziale i numeri di Fibonacci, che il matematico pisano propose in relazione alla crescita numerica dei conigli d’allevamento, ma che si ritrovano in molti fenomeni naturali oltre che nelle opere di Mario Merz. Ciascun numero di questa successione si ottiene come somma dei due che lo precedono, sicché partendo dai valori iniziali 1,1 si ha poi:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,....

Certo questi numeri crescono più in fretta dei fondi in banca, ma guardando i primi dieci elementi della successione riportati sopra probabilmente non ci si aspetta che il ventesimo sia quasi settemila, il trentesimo sia maggiore di ottocentomila, il quarantesimo sia maggiore di cento milioni.

L’esempio più noto di crescita esponenziale è quella di una grandezza che raddoppia a ogni passo, sicché la successione diviene 1, 2, 4, 8, 16, .... Il decimo elemento è maggiore di mille, il ventesimo maggiore di un milione, il trentesimo maggiore di un miliardo. Qui la crescita è davvero rapida. La legge è stata tante volte riscoperta nell’immaginazione popolare: dai cani feriti di Mark Twain, che raddoppiavano ogni giorno di numero perché ciascuno di essi chiamava un nuovo infermo per essere curato da un pietoso chirurgo (che infine morirà di idrofobia tra una moltitudine di cani, morso da uno dei suoi pazienti). Al giovine arabo che chiese al califfo tanti grani di riso quanti se ne possono porre sulle caselle di una scacchiera, partendo da uno e raddoppiando il numero a ogni passo, per raggiungere un numero astronomico sull’ultima casella. Alle speculazioni mistiche di Giovanni l’Eremita che notò che se un uomo pio impiegasse un anno per far ravvedere un malvagio, entrambi impiegassero poi un altro anno per far ravvedere un malvagio ciascuno, e così via, in soli vent’anni oltre un milione di uomini malvagi si ravvederebbero (il sant’uomo pensava di aver scoperto la potenza della fede, ma in verità aveva scoperto la potenza di due poiché 2 elevato a 20 è maggiore di 1.000.000).

Se poi a ogni passo la grandezza si moltiplica per 10, o per 100, anziché per 2, la crescita è davvero travolgente. È il caso descritto da Manzoni nei Promessi Sposi (XI) a proposito della circolazione di confidenze segrete, confidate solo ad amici fidati: "Così d’amico fidato in amico fidato, il segreto gira e gira per quell’immensa catena....... Avrebbe però ordinariamente a stare un gran pezzo in cammino, se ognuno non avesse che due amici: quello che gli dice, e quello a cui ridice la cosa da tacersi. Ma ci son degli uomini privilegiati che li contano a centinaia: e quando il segreto è venuto a uno di questi uomini, i giri divengono sì rapidi e sì molteplici, che non è più possibile seguirne la traccia". Ecco un esempio elegantissimo e correttissimo di crescita esponenziale, anche se Manzoni ebbe il buon gusto di non usare questa espressione.

Cosa dunque caratterizza la crescita esponenziale, accomunando gli interessi bancari, i numeri di Fibonacci, la moltiplicazione di ravvedimenti, la circolazione di segreti, in un unico fenomeno matematico? Si parte da s0 = 1 e da una base b > 1, e si forma la sequenza s0, s1, s2, s3, .... moltiplicando ogni valore precedente per b: si ottiene cioè s0 =1, s1 = b, s2 = b alla seconda, s3 = b alla terza,..... I matematici pongono poi s0 = 1 = b elevato a 0 ed s1 = b = b elevato a 1, e la sequenza diviene formalmente perfetta. La crescita esponenziale è cioè caratterizzata da un esponente crescente, e a tale esponente è elevata una base maggiore di uno. La legge può essere rappresentata con un grafico concavo, che assume, procedendo, una pendenza sempre maggiore. Se la base è piccola, come nel caso del tasso d’interesse del 5%, ove la base vale 1,05, la curva cresce all’inizio molto lentamente scostandosi poco da una retta orizzontale, ma a un occhio esperto si rivela concava e la sua crescita ne svela il comportamento futuro: è sufficiente proiettarsi in avanti perché i suoi valori superino quelli di ogni altra sequenza.
Anche i numeri di Fibonacci, anziché per addizioni, possono essere costruiti per potenze successive e questo ne spiega l’intrinseca natura matematica. La base è (1+√5)/2 = 1,62 circa, anche se la cosa non è evidente né semplice a spiegarsi: tale base si moltiplica a partire dal secondo 1 della successione, il valore di ogni elemento si ottiene approssimando il calcolo all’intero più vicino e la crescita, all’inizio, è ancora piuttosto lenta. Per inciso è interessante notare che (1+√5)/2 è la sezione aurea, numero magico dell’architettura.

Se la base è 2, come nei ravvedimenti di Giovanni l’Eremita, o nei cani di Mark Twain ecc., la crescita è notevole sin nei primi elementi; ma forse nessuno (cui non sia stato fatto già notare) crederebbe possibile che ripiegando un foglio di carta su sé stesso un numero arbitrario di volte lo spessore dell’impossibile origami, raddoppiando a ogni passo, diverrebbe quasi subito incredibilmente grande: impiegando un foglio spesso un decimo di millimetro, alla quattordicesima piega lo spessore dell’origami supererebbe un metro, alla ventiquattresima piega supererebbe un kilometro, alla quarantatreesima piega supererebbe la distanza tra la terra e la luna (e naturalmente la superficie dell’orogami diverrebbe terribilmente piccola). Non parliamo poi di cosa accade se si moltiplica ogni volta per una base pari a cento, come nei segreti manzoniani.

Ma infine, perché dico tutto questo? Leggendo recentemente Internazionale (n. 665, Ottobre/Novembre 2006), giornale che amo molto, trovo la seguente notizia che riporto letteralmente: "Pechino. L’invasione delle auto. Pechino è sull’orlo della paralisi per la crescita esponenziale del numero di automobili. Secondo l’agenzia ufficiale Xinhua nella capitale le auto aumentano in media di 1166 unità al giorno ...."

Dunque un incremento giornaliero fisso seppur grandissimo, cioè una crescita lineare che è per sua natura la più lenta tra quelle normalmente considerate: più lenta di una crescita quadratica (rappresentata cioè da una parabola), o cubica ecc., anch’esse comunque sotto l’esponenziale. Cerchiamo di capire: aumentando a ogni passo di una quantità costante (1166 nell’esempio) si progredisce come sui gradini di una scala: gradini altissimi in questo caso, ma tutti uguali. La scala è dunque ripidissima, ma le estremità dei gradini sono allineate su una retta e per questo l’andamento è detto lineare. Una curva esponenziale è invece concava, cioè il suo tasso di crescita aumenta a ogni passo. La scala di Fibonacci ha gradini bassi all’inizio e per un po’ non sale come il numero di auto cinesi, ma si tratta solo di avere pazienza: a un certo punto raggiungerà inevitabilmente la curva lineare e se ne distaccherà subito con rapidità impressionante qualunque sia la pendenza della prima. Tu quoque, Internazionale!

Fabrizio Luccio.

(Autore con Linda Pagli di Algoritmi, divinità e gente comune (ETS, 1999) e del libro La rete: dagli antichi codici all’era di Internet, che uscirà nel marzo 2007 da Bollati Boringhieri)








pubblicato da c.benedetti nella rubrica giornalismo e verità il 19 novembre 2006